Loading

Wzory z mechaniki

[energia potencjalna]

E_p=m*g*h

[energia kinetyczna]

E_k=m*v²/2

[praca]

W = F*s*cos(α)

[pęd]

p = m*v

[grawitacja]

g = G*M/(R+h)²
F = G*M*m/r²
W = G*M*m(1/r₁-1/r₂)
E_p = - G*M*m/r
V_g = E_p/m = -G*M/r
E_g = F/m = G*M/r²

ruchy:

[jednostajny]

a=0
s = v*t
v = s/t

[jednostajnie przyśpieszony]

a=const
s = a*t²/2
v = a*t

[ogólnie]

s = s₀ + v₀*t + a*t²/2
v = v₀ + a*t

[po okręgu jednostajny]

α = ω*t
a_n = ω²*r
v_s = ω*r
T = 2π/ω
f = 1/T

[po okręgu przyśpieszony]

α = ω*t
α = ω₀*t + ε*t²/2
ω = ω₀ + ε*t

rzuty:

[swobodne spadanie]

h = g*t²/2
v = g*t

[rzut pionowy w górę]

h = v₀*t - g*t²/2
v = v₀ - g*t

[rzut poziomy]

x = v₀*t
y = g*t²/2
t = √(2*h/g)
x = v₀*√(2*h/g)

[rzut ukośny pod kątem α]

x = v₀*cos(α)*t
y = v₀*sin(α)*t - g*t²/2
h = (v₀²*sin²α) / 2*g
t = 2*v₀sin(α)/g
x = v₀²*sin(2*α)/g

w grach można wykorzystać metodę obliczania pozycji x oraz y niezależnie od siebie (uproszczona Krzywa Balistyczna)...

[rzut ukośny pod kątem α dla gier]

g = 9.81
t = 0
f - siła oporu powietrza
m - masa ciała
v - prędkość początkowa
Δt - przyrost czasu
α - kąt wystrzelenia pocisku
kod:
x = x + ((v* cos(α)) - f / m * t)
y = y - ((v* sin(α)) - g * t)
t = t + Δt
Uwaga: nie jest to wzór fizyczny, lecz jedynie układ równań napisany na potrzeby prostych gier. nie polecam opierania się na nim w pracach z zakresu fizyki!

lub wykorzystać wzór na rzut w ośrodku o pewnej gęstości, z uwzględnieniem oporu k:

[rzut ukośny pod kątem α przy oprze k ośrodka]

x_o, y_o - współrzędne początkowe
e - liczba Eulera = 2,7182818284...
g = 9.81
t - czas
k - współczynnik oporu
v_ox - prędkość początkowa x
v_oy - prędkość początkowa y
x(t) = x_o + V_ox/k * (1 - e^-kt)
y(t) = y_o + V_oy/k + g/k² - gt/k - ((k * V_oy + g)/k²)*e^-kt
Uwaga: aby dobrze zrozumieć jaki będzie wynik tych równań polecam wyobrażeniesobie rzutu kamienim pod wodą. Opór ośrodka jest jednakowy w każdym kierunku!

statyka cieczy i gazów:

[ciśnienie]

p = F/S
p = h*g*d

[Archimedesa prawo wyporu]

Fw = V*d*g

sprężystość:

[prawo Hooke'a]

dl = F*l₀/S*Ej
eps = dl/l
naprężenie = Ej*eps
naprężenie = F/S

[sprężyny]

F = k*x
E_spr = k*x²/2

ruch drgający i falowy:

[drgania harmoniczne]

x = A*sin(ω*t + ψ₀)
v = A*ω*cos(ω*t + ψ₀)
a = -A*ω2*sin²(ω*t + ψ₀)

[faza ruchu]

ψ = ω*t = 2*π*t/T

[energia]

E_k = 0,5*m*ω²*A²*cos²(ω*t + ψ₀)
E_p = 0,5*m*ω²*A²*sin²(ω*t + ψ₀)
E_c = E_p + E_k = 0,5*m*ω²*A²

[wahadło matematyczne]

T = 2*π*√(l/g)

[wahadło fizyczne]

T = 2*π*√(J/m*g*r)

legenda:

[ogólne]

s - droga [m]
t - czas [s]
v - prędkość [m/s]
a - przyśpieszenie [m/s²]
h - wysokość [m]
l - odległość [m]
F - siła [N] = [kg*m/s²]
E - energia [J] = [N*m]
g - przyśpieszenie ziemskie = 9,806 m/s²
m - masa [kg]
α - kąt - droga kątowa
ω - prędkość kątowa
ε - przyśpieszenie kątowe
T - okres [s]
f - częstotliwość [1/s = Hz]
a_n - przyśpieszenie dośrodkowe
v_s - prędkość styczna
G - stała grawitacyjna = 6,672*10^-11 [m³/(s*kg)]
R - promień planety [m]
r - promień, promień orbity [m]
M - masa planety [kg]
E_g - natężenie pola grawitacyjnego [N/kg]
V_g - potencjał grawitacyjny [J/kg]
Ej - moduł Younga [N/m2]
k - współczynnik sprężystości sprężyny
E_spr - energia sprężysta [J]

[ruch drgający i falowy]

ψ₀ - faza początkowa
l - długość wahadła
J - moment bezwładności

[sprężystość]

Ej-moduł Younga [N/m²]
dl-wydłużenie względne
eps-wydł. bezwzględne
S-przekrój [m²]
x-wydłużenie [m]
k-wsp. sprężystości

[ciecze]

S-powierzchnia [m²]
d-gęstość ośrodka [kg/m³]
V-objętość [m³]